揭秘蝴蝶定理,盘点几何定理的玄妙

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在人类的许多学科中，其中数学是非常重要的，现代科技的发展都少不了数学基础的存在，数学也会伴随着很多人一生的话题，从小学开始就会接触数学，在生活中的很多事情都会和数学相关，而在我们接触数学的过程中，都会接触到的一个事情就是数学的定理，这些定理的存在让我们可以更好的理解数学的美妙，比如说蝴蝶定理，因为这个定理的外形比较和蝴蝶的外形类似，得名蝴蝶定理，在现代的考试中也会经常出现蝴蝶定理，并且依然有很多的科学家对这个定理执迷不悟，下面就为大家来详细的介绍一下蝴蝶定理，并且为大家介绍数学定理的其他相关信息。

蝴蝶定理视频

蝴蝶定理的起源

在圆O内,有一条弦MN,其弦中点为P,过P任意作两条相交弦AB和CD(如图1),连结BC、AD,分别交弦MN于E、F,则PE=PF.从这个几何图形上看,它就像是一只翩翩起舞的蝴蝶,称之为蝴蝶定理.这是一只在圆中飞舞的蝴蝶。

而在梯形中,也存在着一只美丽的蝴蝶(如图2).在梯形ABCD中,AB//CD,对角线AC、BD相交于点O,则:

1、S△AOD =S△BOC;

2、S△AOD•S△BOC=S△AOB•S△DOC.

这是梯形中飞舞的蝴蝶,故称之为梯形蝴蝶定理.

蝴蝶定理是什么

如图一所示，EF是⊙O的弦，P是EF的中点，AB、CD是两条过点P的弦，连接AD、BC，分别交弦EF于点M、N，则P是M、N的中点。

蝴蝶定理的英文是Butterfly Theorem，蝴蝶定理是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。

蝴蝶定理，是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。

这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国的一本杂志《男士日记》（Gentleman's Diary）39-40页上。登出的当年,英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳（他发明了多项式方程近似根的霍纳法）给出了第一个证明，完全是初等的；另一个证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。

一种早期的证明由M.布兰德（Miles Bland）在《几何问题》（1827年）一书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的J·开世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"（中译近世几何学初编，李俨译，上海商务印书馆 1956 ）给出，只有一句话，用的是线束的交比。

1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用解析几何的一种比较简单的方法（利用直线束，二次曲线束）。

该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。圆可以改为任意圆锥曲线。将圆变为一个完全四角形，M为对角线交点。去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”， 不为中点时满足: ,这对2，3均成立。

蝴蝶定理的研究历史

蝴蝶定理是近代初等几何中的名题之一，也是欧氏平面几何的一个有趣的论断。早在1815年，它作为一个征求证明的问题，刊载于西欧的一本杂志《Gentleman’s Diary（男士日记）》上，引起了数学爱好者们的关注。“蝴蝶定理”这个叫法最早出现在1944年出版的《American Mathematical Monthly（美国数学月刊）》上，因其几何形状与蝴蝶相似而命名。200年来，我国数学爱好者们不断给出新的、简洁的证明方法，给这个“老问题”注入了“新活力”。

我国对蝴蝶定理的研究，开始于20世纪80年代。1985年，杜锡录教授①在《平面几何中的名题及其妙解》一文中，将蝴蝶定理普及给大众。同年，杨路教授②在《谈谈蝴蝶定理》一文中指出，将弦EF的中点P推广到弦EF的任意一点，可得蝴蝶定理的坎迪（A.L.Candy）蝴蝶形式

其中，EP=a，FP=b，MP=x，NP=y。

不久之后，马明学者③在《蝴蝶定理的变异》一文中，将弦EF上的点P，拓展到弦EF外，开拓了蝴蝶定理研究的新方向。这一时期主要讨论圆（椭圆）中蝴蝶定理的各种变形，直至1990年，中国数学竞赛选拔题中出现了筝形蝴蝶定理

如图二所示，筝形ABCD中，AB=AD、BC=CD，过对角线交点O作直线EF、MN，连接EN、MF，分别交BD于点P、Q，则PO=Q。

1990年，筝形蝴蝶定理出现在全国高中数学冬令营选拔赛题目中。此后，我国对蝴蝶定理的研究进入了一个新的高潮，不断拓展对定理的变形和推广。

1992年，张景中院士④在《蝴蝶定理的新故事》一文中，反复运用线段比与面积比的互相转化，证明了蝴蝶定理，并进行推广。同年，李长明教授对筝形蝴蝶定理进行了证明与推广。

1993年，陈举、邓御寇、刘海蔚从射影几何的角度证明蝴蝶定理，并编写进《高等几何》教材中。

1998年，赵临龙从射影几何的角度，分析蝴蝶定理的推广命题，并给出二次曲线的蝴蝶定理结论，此结论已被《中国数学文摘》及《美国数学评论》摘录，成果斐然。

2001年，王绍恒、王昌成在《用射影几何观点导出的欧式几何命题》一文中，同样从射影几何的角度给出了蝴蝶定理的证明。2001年，全国初中数学竞赛中，出现了蝴蝶定理变形题。

2003年，椭圆内的蝴蝶定理变形题出现在北京市数学高考试题中，引起了国内数学爱好者的关注。对蝴蝶定理的研究推广至今也没有结束，这道经典几何题的开放性使它很适合进入到高中课堂。

蝴蝶定理的教学建议

蝴蝶定理的推广证明可以作为一个探究性学习活动来进行。

在问题的呈现环节，教师应充分利用多媒体资源的优势，动态的设置和展示蝴蝶定理的开放性条件和结论，引起学生探究兴趣，激发内在学习动机，使学生主动的参与到问题解决的过程中来。

在蝴蝶定理的教学环节，教师应为学生创设生动的情景，通过动态图形的变换，构造不同条件、不同位置下的蝴蝶定理（如图三），促使学生突破思维定势，灵活的思考。

进而给出条件EF是⊙O的弦，P是EF的中点，AB、CD是两条过点P的弦，连接AD、BC，分别交弦EF于点M、N。然后让学生关于图中的线段、面积的数量关系进行讨论和猜测。鉴于动态展示的优势，学生容易得出一些合情推理，推理还需严谨的论证，学生便会主动的参与到论证结论的环节中去。

在蝴蝶定理的探究结论环节，学生要利用之前观察动态图形变换得出的合情推理，进行猜测性判断，并利用测量工具对未知量进行测量，得出初步结论，如△DPA∽△BPC、MP=PN、EM=NF等。对于为证明的结论，必定会有质疑的声音。，教师与学生共同动手操作，改变弦和点的位置，观察并度量面积、线段长度的变化，得出新结论△DPA∽△BPC，MP=PN。

学生通过多媒体改变参数，得出了初步结论，由于多媒体技术的局限性，还不能直接给出证明。教师与学生共同讨论，灵活思考，从不同的角度找到证明结论的方法。

探究结束后，教师可根据探究活动的效果，对学生启发引导，给出一个新的条件，如蝴蝶定理只能在圆中成立么？还能在什么图形中成立呢？通过不断的实验和探索，利用已学过的点、线、圆锥曲线等构造新的几何图形，来将蝴蝶定理不断延伸拓展，共同讨论，得出一系列变形，使蝴蝶定理在更多图形中翩翩飞舞。这样连续的设问保证了教学活动的连续性和有效性，为学生营造了动手实验、合作交流、共同完成的学习氛围。

蝴蝶定理的开放性

随着蝴蝶定理研究的深入，蝴蝶定理的证明不仅有许多高观点下的证法，更有许多适合高中生的、初等数学的证法。这些证法的条件和结论都可以使开放的，能够拓展到其他情形。

蝴蝶定理的初等证明可以从多方位、多角度、多层次让学生探索，具有一定的挑战性、层次性和开放性，并且具有相当大的可以发展的空间，并有效的拓展了学生的学习空间。

我国新课程标准也倡导就同一问题提出不同层次的开放性问题，使不同的学生得到不同的发展，来培养学生的创造性思维和探索创新能力。在教学过程中穿插一些开放性题，打破了每道题都有其对应的标准答案的传统观念，打破思维定势，使学生的思维更加灵活多变。

随着多媒体技术在课堂上的应用和发展，蝴蝶定理的图像演示可以利用动画等多媒体手段予以展示。这不仅契合了蝴蝶定理的变化性，使学生体会到数形结合的思想，而且形象直观生动，激发学生的创新思维。利用多媒体技术，学生可以进行动态作图，动态计算证明，发现新现象，探索新问题。

蝴蝶定理验证方法

1、霍纳证法证明蝴蝶定理

过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，

连接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF

∴ES/CS=ED/FC

根据垂径定理得LD=ED/2，FT=FC/2

∴ES/CS=EL/CT

又∵∠E=∠C

∴△ESL∽△CST

∴∠SLN=∠STM

∵S是AB的中点所以OS⊥AB

∴∠OSN=∠OLN=90°

∴O，S，N，L四点共圆，（一中同长）

同理，O，T，M，S四点共圆

∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON

∴∠SON=∠SOM

∵OS⊥AB

∴MS=NS

2、帕斯卡定理证法证明蝴蝶定理

连接CO、EO并延长分别交圆O于I、J，连接IF、DJ交于K，

连接GK、HK。由帕斯卡定理得M、O、K共线

∵M为AB中点 ∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°

又∵CI、EJ为⊙O直径 ∴∠GFK=∠HDK=90°

又∵∠GMK=∠HMK=90° ∴∠GMK+∠GFK=∠HMK+∠HDK=90°+90°=180°，

∴G、F、K、M共圆，H、D、K、M共圆 ∴∠GKM=∠GFM，∠MKH=∠MDH

又∵∠GFM=∠MDH ∴∠GKM=∠MKH 又∵∠GMK=∠HMK=90°

∴△GMK≡△HMK（ASA）∴GM=MH

梯形蝴蝶定理的证明

1、根据等底等高的两个三角形的面积相等,可知S△ADC=S△BCD,即S△AOD+S△DOC=S△BOC+S△DOC,所以S△AOD=S△BOC .

2、分别过点A、C作AE⊥BD于E,CF⊥BD于F(如图3),

则S△AOD=DO•AE,S△BOC =BO•CF,S△AOB=BO•AE,S△DOC=DO•CF

故S△AOD•S△BOC =S△AOB•S△DOC .

利用梯形蝴蝶定理中的这两个结论,解决某些面积计算或等积(面积相等)变形问题,可起到事半功倍的效果.

梯形蝴蝶定理的应用

例1,B、C、F三点在同一条直线上,线段AF与平行四边形ABCD的CD边交于点E,如果△DEF的面积为6平方厘米,求△BCE的面积.

解:连接AC.

∵AD//CF,由梯形蝴蝶定理可得S△ACE = S△DEF =6

∵AB//CE,则有S△BCE = S△ACE =6.

例2,EF为△ABC边上的点,CE与BF交于点P,已知△PBC的面积为12,并且△BEP、△CFP、四边形AEPF的面积相等.求△BEP的面积.

解:连接EF.

∵S△BPE =S△CFP

∴△BEF与△CFE的高相等,则有EF//BC

设△BEP的面积为S,由梯形蝴蝶定理,可得:S△EFP=,则S△AEF =S-

由△AEF∽△ABC,△EFP∽△CBP可知:=()2 ,=()2

∴=, 即=,解得:S=4.

例3,矩形ABCD中,AB=3cm,AD=3cm,AD=6cm,点E为AB边上的任意一点,四边形EFGB也是矩形,且EF=2BE,求S△AFC .

解:连接FE,由 tan∠FBG=,tan∠ACB=,可知:∠FBG=∠ACB,∴FB//AC,令FC与AB相交于点O,则:S△AFO = S△BCO ,S△AFC= S△ABC =×3×6=9.

例4 P是边长为8的正方形ABCD形外一点,PB=PC,△PBD的面积等于48.求△PBC的面积.

解:设PD与BC交点为O,取BC中点E,连接PE 、DE,则S△CEP = S△BEP

由PE//DC,则有S△COP = S△DOE

由于 S△PBD =S△DBE +S△DOE + S△POE + S△BEP = S△DBE +S△COP +S△POE +S△BEP=S△DBE +S△PBC

而S△PBD =48,所以S△DBE =BE•CD=×4×8=16

故48=16+S△PBC,所以 S△PBC =32.

四边形蝴蝶定理

若四边形一条对角线平分另一对角线（比如此图中的AD平分BC，不要求BC平分AD），过其交点G的两条直线PR和QS，与四边交于P.R.Q.S，则连线PQ与SR与被平分的对角线BC的两个交点E.F到对角线交点G距离相等。

蝴蝶定理是一道著名的平面几何题。发散思维是一种重要的数学思维能力。它与人的创新能力有着密不可分的关系。利用蝴蝶定理的一题多解，和对问题本身的条件和图形等的发散，以及在证明过程中得到的一些新的启示，都可以很好地训练学生的发散思维能力。

蝴蝶定理训练发散思维

蝴蝶定理 M是⊙O的弦AB的中点，CD,EF是过点M的两条弦，连结CF,ED分别交AB于P,Q两点，则MP=MQ.原文地址http://.yi2./article/201606/13148.html

奇事网以上就是蝴蝶定理的具体内容，它作为一道著名的平面几何题，有人称誉它为欧氏几何园地里的“一颗生机勃勃的常青树”。它想象洵美，蕴理深刻，且证法众多，近三百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起许多中外数学家的兴趣。

发散思维（或求异思维）与集中思维（或求同思维）是相对的，它是指从同一来源材料探求不同答案的思维过程，思维方向发散于不同的方面，即从不同的方面进行思考。在数学学习中，发散思维表现为依据定义，定理，公式和已知条件，思维朝着各种可能的方向扩散前进。

集中思维有利于掌握规律，是发散思维的基础，是发展发散思维的前提；发散思维有利于提出各种设想，这些设想要靠集中思维予以科学验证。集中与发散，方式不同，任务各异，但又是紧密联系，彼此沟通，相辅相承的。

，数学上的新思维，新概念和新方法往往来源于发散思维。按照现代心理学家的见解，数学创造能力的大小应和他的发散思维能力成正比。详细来说，任何一位科学家的创造能力可用如下的公式来估计

创造能力=知识量×发散思维能力

可见，加强发散思维能力的训练，是培养学生创造性思维的重要环节。怎样训练学生的发散思维能力呢？下面利用蝴蝶定理来具体地进行说明。

1、对解法进行发散

所谓解法的发散即一题多解。

证法一(1815年霍纳发表在《先生日记》上的证法)

证法二（1815年泰洛刊登在《先生日记》上的证法）

证法三（1819年迈尔斯.布兰德（Miles Bland）在《几何问题》一书中给出了一种不同寻常的证明）

证法四（综合证法）

过E作AB的平行线交⊙O于G，连结MG,CG,PG,OM, 作OT⊥GE于T，则OM⊥AB于M,TG=TE，易知T,O,M三点共线,MT是EG的中垂线

∴MG=ME ∠AME=∠MGE=∠GME=∠EMB

易知∠GCF+∠GEF=180o

∴∠GCP+∠GMP=180o

∴G,C,P,M四点共圆

∴∠MGP=∠PCM=∠FED=∠PMG=∠EMQ

∴△GPM≌△EQM

∴MP=MQ

证法五（面积证法）

过O作OG⊥CD于G,OH⊥EF于H,连结OM

∵S△MDE=S△MDQ+S△MQE

∴1/2MD×ME×Sin(α+β)

=1/2MD×MQ×Sinβ+1/2ME×MQ×Sinα

其中α=∠EMQ,β=∠DMQ，将上式两端乘以2,再除以MD×ME×MQ

Sin(α+β)/MQ=Sinβ/ME+Sinα/MD （1）

同理Sin(α+β)/MP=Sinβ/MF+Sinα/MC （2）

(1)-(2)得: Sin(α+β)×(1/MQ-1/MP)=Sinβ/(ME×MF)×(MF-ME)-Sinα/(MC×MD)×(MD-MC) （3）

∵G,H是CD,EF的中点

∴ME-M=2MH=2OM×Sinα

MC-MD=2MG=2OM×Sinβ （4）

把(4)代入(3)中,因为ME×MF=MC×MD 所以(3)式右边为0

即Sin(α+β)×(1/MQ-1/MP)=0 又∵Sin(α+β)≠0

∴1/MQ-1/MP=0

∴MP=MQ

奇事网以上是蝴蝶定理的一些初等的证明方法，除此之外还有解析法，还可以用梅内劳斯定理等。在具体的教学过程中，教师可以深入地研究奇事网以上的一些证明，做到融会贯通，并且研究出一些自己的证法，给学生讲解一些有代表性和巧妙的证法，进行认真地分析，积极启发诱导学生，使学生对蝴蝶定理产生兴趣。

对于正确的想法，要启发学生往下进行，从而得到正确的方法，对于不合理的想法，要认真给以纠正，并让学生知道为什么不合理，是否能够改进，能改进一定要鼓励其进行改进。在这个过程中，要鼓励学生独立思考，不要让学生看参考书，老师可以给予适当的帮助，使学生有一些新的发现，锻炼发散思维能力。

2、对问题的条件进行发散

对问题的条件进行发散是指问题的结论确定以后，尽可能变化以知条件，进而从不同的角度，用不同的知识来解决问题。这样一方面可以充分揭示数学问题的层次，另一方面有可以充分暴露学生自身的思维层次，使学生从中吸取数学知识的营养。

在蝴蝶定理中，把圆换成椭圆，双曲线，抛物线或直线对，把直线CD,EF,变成双曲线，椭圆等二次曲线，结论都是成立的。，平面几何证法对此已无能为力，解析几何证法的优越性和威力则大为显示出来。

有人将蝴蝶定理类比地进行了推广，发现了很有趣的“类蝴蝶定理”的性质。在具体的教学过程中，教师应给学生一些简单的变形题，让学生自己独立，然后教师介绍蝴蝶定理的一些变形情况，如改变圆为椭圆，双曲线等，直线可以变成椭圆，双曲线等，让学生自己出题，自己解法，以培养学生的创造性思维，也可以通过各种渠道来发现蝴蝶定理的变形的题目，以拓展学生的知识面。

3、发现和研究新问题

在数学学习中，学生可以从某些熟知的数学问题出发，提出若该富有探索性的新问题，并凭借自己的知识和技能，经过独立钻研，去探索数学的内在规律，从而获得新的知识和技能，逐步掌握数学方法的本质，并训练和培养自己的发散性思维能力。

教师应鼓励学生分组讨论善于发现问题，多发现问题，通过图书馆，上网等方式查找与此相关的书刊资料，先展开小组学习讨论，再推举代表在全班专题汇报，对于表现积极有创新精神的学生给予适当的鼓励。在这一部分不要仅局限于蝴蝶定理，而要尽量多找一些材料进行训练。

到此为止，本文讨论了如何利用蝴蝶定理来训练学生的发散思维能力，还有其它方法，我们不能局限于奇事网以上的方法，也注意培养自身的发散思维能力和创新精神，只有这样我们才能更加支持学生的大胆创新，从根本上提高学生的创新能力和发散思维能力。

认识其他的一些几何定理

在数学发展的过程中，总会有一些定理的存在能够让我们体会到数学的神奇所在，有些定理本身就是充满了魅力的，这也是我们大多数的人喜爱数学几何的原因所在，下面就带大家来认识一些非常有趣的几何定理。

燕尾定理

燕尾定理在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有

S△AOB∶S△AOC=BD∶CD

S△AOB∶S△COB=AE∶CE

S△BOC∶S△AOC=BF∶AF

图类似燕尾而得名。是五大模型之一，是一个关于平面三角形的定理，俗称燕尾定理。

共角定理

内容若两三角形有一组对应角相等或互补，

则它们的面积比等于对应两边乘积的比。

即若△ABC和△ADE中，

∠BAC=∠DAE ，则S△ABC÷S△ADE=

塞瓦定理

塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。

塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现。塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。塞瓦定理的对偶定理是梅涅劳斯定理。

清宫定理

清宫定理，几何著名定理之一，由日本数学家清宫俊雄（Toshio Seimiya）提出。

设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上.

P、Q两点和D、F、E、三点有如下关系

将三角形的三边或者其延长线作为镜面，则从P点出发的光线照到D点经过BC反射以后通过Q点，从P点出发的光线照到E点经AC的延长线反射后通过Q点，从P点出发的光线照到F点后通过Q点

从而，如果P、Q两点重合，则D、E、F三点成为从P（即Q）点向BC，CA，AB或者它们的延长线所引的垂线的垂足。清宫定理就相当于西姆松定理。

我们决定将证明清宫定理的方针确定如下因为D、E、F三点中，有两点在△ABC的边上，其余一点在边的延长线上。

拿破仑定理

拿破仑定理由拿破仑发现“以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则他们的中心构成一个等边三角形。”该等边三角形称为拿破仑三角形。如果向内（原三角形不为等边三角形）作三角形，结论同样成立。因为是拿破仑发现所以称拿破仑定理。

向任何三角形三边分别向外侧作等边三角形，然后把这三个正三角形的中心连结起来所构成的三角形一定是等边三角形。

这一定理可以等价描述为若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为60°的等腰三角形，则它们的中心构成一个等边三角形。

拿破仑为人颇为好学，是法兰西科学院院士，他对数学方面很感兴趣，自幼喜爱数学。他在行军打仗的空闲时间，经常研究平面几何。他对数学和数学家怀有特别的敬意，并且欣赏他自己提出的问题。他在这方面证明了“拿破仑三角形”即拿破仑定理。

张角定理

在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。

逆定理 如果sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD，那么B,D,C三点共线。

定理的推论

在定理的条件下，且∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，则B D C共线的充要条件是2cos∠BAD/AD=1/AB+1/AC

一说本定理是公元467年由中国的朱谦发现。

梅涅劳斯定理

梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》（Sphaerica）。

任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于三条线段之积，这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角关系来证明. 梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。

使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。

它的逆定理也成立若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

西姆松定理

西姆松定理是一个几何定理。表述为过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

相关的结果有

（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。

（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。

（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。

（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

奇事网网奇事网小编数学的奇妙是无处不在的，蝴蝶定理以及上面提到的那些定理都只是人们在长期研究数学的基础上提出来的，而这一切都只是人们在长期的研究数学的基础上的出来的结果，数学也在人们生活以及现代科技发展的过程中起到了非常重要的作用。