海伦公式推导过程（海伦公式怎么推导）

海伦-秦九韶公式
已知三边是a,b,c
令p=(a+b+c)/2
则S=√

扩展资料:海伦公式

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。

但根据MorrisKline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证)。

海伦公式原理

中国宋代的数学家叶汇淳也提出了“三斜求积术“，它与海伦公式基本一样。

假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得:S=√而公式里的p为半周长:p=(a+b+c)/2----------------------------------------------注1:“Metrica“(《论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√和S=√两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

----------------------------------------------由于任何n边的多边形都可以分割成(n-2)个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。

比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

推导过程如下

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为

cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab 

S=1/2absinC

=1/2ab√(1-cos^2 C)

=1/2ab√

=1/4√

=1/4√

=1/4√

=1/4√

设p=(a+b+c)/2

则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√

=√ 

所以，三角形ABC面积S=√。

推导海伦公式

用勾股定理

证明 根据勾股定理，得

此时化简得出海伦公式。 

扩展资料

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，它的特点是形式漂亮，便于记忆。

海伦公式

假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得

而公式里的p为半周长（周长的一半）

注1“Metrica“《度量论》手抄本中用s作为半周长，所以

 和

 两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

它的特点是形式漂亮，便于记忆。

任意三角形的面积公式（海伦公式）S=√p(p-a)(p-b)(p-c),p=a+b+c/2,a.b.c,为三角形三边。
证明
证一 勾股定理
分析先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:
x = y =
ha = = =
∴ S△ABC = aha= a× =
此时S△ABC为变形④，故得证。
证二斯氏定理
分析在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，
若BD=u，DC=v,AD=t.则
t 2 =
证明由证一可知，u = v =
∴ ha 2 = t 2 = －
∴ S△ABC = aha = a ×
=
此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三余弦定理
分析由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。
证明要证明S =
则要证S =
=
= ab×sinC
此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四恒等式
分析考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式若∠A+∠B+∠C =180○那么
tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1
证明如图，tg = ①
tg = ②
tg = ③
根据恒等式，得
+ + =
①②③代入，得
∴r2(x+y+z) = xyz ④
如图可知a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x
∴x = 同理y = z =
代入 ④，得 r 2 · =
两边同乘以 ，得
r 2 · =
两边开方，得 r · =
左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。
证五半角定理
半角定理tg =
tg =
tg =
证明根据tg = = ∴r = × y ①
同理r = × z ② r = × x ③
①×②×③,得 r3 = ×xyz

由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明（1）
与海伦在他的著作“Metrica“(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2absinC
=1/2ab√(1-cos^2 C)
=1/2ab√
=1/4√
=1/4√
=1/4√
=1/4√
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√
=√
所以，三角形ABC面积S=√
证明（2）
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4
当P＝1时，△ 2＝q,
S△=√{1/4}
因式分解得
1/16
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得
S△=√
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
S=c/2根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c》b》a.
根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题
已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）
代入解得s=8√ 3
海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则
S△ABC = aha= ab×sinC = r p
= 2R2sinAsinBsinC =
=
其中，S△ABC = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、 海伦公式的变形
S=
= ①
= ②
= ③
= ④
= ⑤
二、 海伦公式的证明
证一 勾股定理
分析先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:
x = y =
ha = = =
∴ S△ABC = aha= a× =
此时S△ABC为变形④，故得证。
证二斯氏定理
分析在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，
若BD=u，DC=v,AD=t.则
t 2 =
证明由证一可知，u = v =
∴ ha 2 = t 2 = －
∴ S△ABC = aha = a ×
=
此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三余弦定理
分析由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。
证明要证明S =
则要证S =
=
= ab×sinC
此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四恒等式
分析考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式若∠A+∠B+∠C =180○那么
tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1
证明如图，tg = ①
tg = ②
tg = ③
根据恒等式，得
+ + =
①②③代入，得
∴r2(x+y+z) = xyz ④
如图可知a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x
∴x = 同理y = z =
代入 ④，得 r 2 · =
两边同乘以 ，得
r 2 · =
两边开方，得 r · =
左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。
证五半角定理
半角定理tg =
tg =
tg =
证明根据tg = = ∴r = × y ①
同理r = × z ② r = × x ③
①×②×③,得 r3 = ×xyz
∵由证一，x = = －c = p－c
y = = －a = p－a
z = = －b = p－b
∴ r3 = ∴ r =
∴S△ABC = r·p = 故得证。
三、 海伦公式的推广
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形=
现根据猜想进行证明。
证明如图，延长DA，CB交于点E。
设EA = e EB = f
∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○
∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD
∴ = = =
解得 e = ① f = ②
由于S四边形ABCD = S△EAB
将①，②跟b = 代入公式变形④，得
∴S四边形ABCD =
所以，海伦公式的推广得证。
四、 海伦公式的推广的应用
海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。
例题如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.
求四边形可能为等腰梯形。
解设BC = x
由海伦公式的推广，得
(4－x)(2＋x)2 =27
x4－12x2－16x＋27 = 0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0
(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0
x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0
当x = 1时，AD = BC = 1
∴ 四边形可能为等腰梯形。

海伦公式的推导过程如图

海伦公式

利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。（a、b、c分别为三角形三条边的边长，p为三角形周长的一半）。

简介

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，它的特点是形式漂亮，便于记忆。

相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。

公式意义

海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便地求出面积，比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。